考研数学高数重要定理证明复习要点

  考研数学的证明题是很多考生都比较头疼的一类题目,也是考察重点。小编为大家精心准备了考研数学高数重要定理证明复习重点,欢迎大家前来阅读。

  考研数学高数重要定理证明复习知识点

  高数定理证明之微分中值定理:

  这一部分内容比较丰富,包括费马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。除泰勒中值定理外,其它定理要求会证。

  费马引理的条件有两个:1.f’***x0***存在2.f***x0***为f***x***的极值,结论为f’***x0***=0。考虑函数在一点的导数,用什么方法?自然想到导数定义。我们可以按照导数定义写出f’***x0***的极限形式。往下如何推理?关键要看第二个条件怎么用。“f***x0***为f***x***的极值”翻译成数学语言即f***x***-f***x0***<0***或>0***,对x0的某去心邻域成立。结合导数定义式中函数部分表达式,不难想到考虑函数部分的正负号。若能得出函数部分的符号,如何得到极限值的符号呢?极限的保号性是个桥梁。

  费马引理中的“引理”包含着引出其它定理之意。那么它引出的定理就是我们下面要讨论的罗尔定理。若在微分中值定理这部分推举一个考频最高的,那罗尔定理当之无愧。该定理的条件和结论想必各位都比较熟悉。条件有三:“闭区间连续”、“开区间可导”和“端值相等”,结论是在开区间存在一点***即所谓的中值***,使得函数在该点的导数为0。

  该定理的证明不好理解,需认真体会:条件怎么用?如何和结论建立联系?当然,我们现在讨论该定理的证明是“马后炮”式的:已经有了证明过程,我们看看怎么去理解掌握。如果在罗尔生活的时代,证出该定理,那可是十足的创新,是要流芳百世的。

  闲言少叙,言归正传。既然我们讨论费马引理的作用是要引出罗尔定理,那么罗尔定理的证明过程中就要用到费马引理。我们对比这两个定理的结论,不难发现是一致的:都是函数在一点的导数为0。话说到这,可能有同学要说:罗尔定理的证明并不难呀,由费马引理得结论不就行了。大方向对,但过程没这么简单。起码要说清一点:费马引理的条件是否满足,为什么满足?

  前面提过费马引理的条件有两个——“可导”和“取极值”,“可导”不难判断是成立的,那么“取极值”呢?似乎不能由条件直接得到。那么我们看看哪个条件可能和极值产生联系。注意到罗尔定理的第一个条件是函数在闭区间上连续。我们知道闭区间上的连续函数有很好的性质,哪条性质和极值有联系呢?不难想到最值定理。

  那么最值和极值是什么关系?这个点需要想清楚,因为直接影响下面推理的走向。结论是:若最值取在区间内部,则最值为极值;若最值均取在区间端点,则最值不为极值。那么接下来,分两种情况讨论即可:若最值取在区间内部,此种情况下费马引理条件完全成立,不难得出结论;若最值均取在区间端点,注意到已知条件第三条告诉我们端点函数值相等,由此推出函数在整个闭区间上的最大值和最小值相等,这意味着函数在整个区间的表达式恒为常数,那在开区间上任取一点都能使结论成立。

  拉格朗日定理和柯西定理是用罗尔定理证出来的。掌握这两个定理的证明有一箭双雕的效果:真题中直接考过拉格朗日定理的证明,若再考这些原定理,那自然驾轻就熟;此外,这两个的定理的证明过程中体现出来的基本思路,适用于证其它结论。

  以拉格朗日定理的证明为例,既然用罗尔定理证,那我们对比一下两个定理的结论。罗尔定理的结论等号右侧为零。我们可以考虑在草稿纸上对拉格朗日定理的结论作变形,变成罗尔定理结论的形式,移项即可。接下来,要从变形后的式子读出是对哪个函数用罗尔定理的结果。这就是构造辅助函数的过程——看等号左侧的式子是哪个函数求导后,把x换成中值的结果。这个过程有点像犯罪现场调查:根据这个犯罪现场,反推嫌疑人是谁。当然,构造辅助函数远比破案要简单,简单的题目直接观察;复杂一些的,可以把中值换成x,再对得到的函数求不定积分。

  高数定理证明之求导公式:

  20xx年真题考了一个证明题:证明两个函数乘积的导数公式。几乎每位同学都对这个公式怎么用比较熟悉,而对它怎么来的较为陌生。实际上,从授课的角度,这种在20xx年前从未考过的基本公式的证明,一般只会在基础阶段讲到。如果这个阶段的考生带着急功近利的心态只关注结论怎么用,而不关心结论怎么来的,那很可能从未认真思考过该公式的证明过程,进而在考场上变得很被动。这里给20xx考研学子提个醒:要重视基础阶段的复习,那些真题中未考过的重要结论的证明,有可能考到,不要放过。

  当然,该公式的证明并不难。先考虑f***x****g***x***在点x0处的导数。函数在一点的导数自然用导数定义考察,可以按照导数定义写出一个极限式子。该极限为“0分之0”型,但不能用洛必达法则,因为分子的导数不好算***乘积的导数公式恰好是要证的,不能用!***。利用数学上常用的拼凑之法,加一项,减一项。这个“无中生有”的项要和前后都有联系,便于提公因子。之后分子的四项两两配对,除以分母后考虑极限,不难得出结果。再由x0的任意性,便得到了f***x****g***x***在任意点的导数公式。

  高数定理证明之积分中值定理:

  该定理条件是定积分的被积函数在积分区间***闭区间***上连续,结论可以形式地记成该定积分等于把被积函数拎到积分号外面,并把积分变量x换成中值。如何证明?可能有同学想到用微分中值定理,理由是微分相关定理的结论中含有中值。可以按照此思路往下分析,不过更易理解的思路是考虑连续相关定理***介值定理和零点存在定理***,理由更充分些:上述两个连续相关定理的结论中不但含有中值而且不含导数,而待证的积分中值定理的结论也是含有中值但不含导数。

  若我们选择了用连续相关定理去证,那么到底选择哪个定理呢?这里有个小的技巧——看中值是位于闭区间还是开区间。介值定理和零点存在定理的结论中的中值分别位于闭区间和开区间,而待证的积分中值定理的结论中的中值位于闭区间。那么何去何从,已经不言自明了。

  若顺利选中了介值定理,那么往下如何推理呢?我们可以对比一下介值定理和积分中值定理的结论:介值定理的结论的等式一边为某点处的函数值,而等号另一边为常数A。我们自然想到把积分中值定理的结论朝以上的形式变形。等式两边同时除以区间长度,就能达到我们的要求。当然,变形后等号一侧含有积分的式子的长相还是挺有迷惑性的,要透过现象看本质,看清楚定积分的值是一个数,进而定积分除以区间长度后仍为一个数。这个数就相当于介值定理结论中的A。

  接下来如何推理,这就考察各位对介值定理的熟悉程度了。该定理条件有二:1.函数在闭区间连续,2.实数A位于函数在闭区间上的最大值和最小值之间,结论是该实数能被取到***即A为闭区间上某点的函数值***。再看若积分中值定理的条件成立否能推出介值定理的条件成立。函数的连续性不难判断,仅需说明定积分除以区间长度这个实数位于函数的最大值和最小值之间即可。而要考察一个定积分的值的范围,不难想到比较定理***或估值定理***。

  高数定理证明之微积分基本定理:

  该部分包括两个定理:变限积分求导定理和牛顿-莱布尼茨公式。

  变限积分求导定理的条件是变上限积分函数的被积函数在闭区间连续,结论可以形式地理解为变上限积分函数的导数为把积分号扔掉,并用积分上限替换被积函数的自变量。注意该求导公式对闭区间成立,而闭区间上的导数要区别对待:对应开区间上每一点的导数是一类,而区间端点处的导数属单侧导数。花开两朵,各表一枝。我们先考虑变上限积分函数在开区间上任意点x处的导数。一点的导数仍用导数定义考虑。至于导数定义这个极限式如何化简,笔者就不能剥夺读者思考的权利了。单侧导数类似考虑。

  “牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁,它是微积分中最基本的公式之一。它证明了微分与积分是可逆运算,同时在理论上标志着微积分完整体系的形成,从此微积分成为一门真正的学科。”这段话精彩地指出了牛顿-莱布尼茨公式在高数中举足轻重的作用。而多数考生能熟练运用该公式计算定积分。不过,提起该公式的证明,熟悉的考生并不多。

  该公式和变限积分求导定理的公共条件是函数f***x***在闭区间连续,该公式的另一个条件是F***x***为f***x***在闭区间上的一个原函数,结论是f***x***在该区间上的定积分等于其原函数在区间端点处的函数值的差。该公式的证明要用到变限积分求导定理。若该公式的条件成立,则不难判断变限积分求导定理的条件成立,故变限积分求导定理的结论成立。

  注意到该公式的另一个条件提到了原函数,那么我们把变限积分求导定理的结论用原函数的语言描述一下,即f***x***对应的变上限积分函数为f***x***在闭区间上的另一个原函数。根据原函数的概念,我们知道同一个函数的两个原函数之间只差个常数,所以F***x***等于f***x***的变上限积分函数加某个常数C。万事俱备,只差写一下。将该公式右侧的表达式结合推出的等式变形,不难得出结论。

  考研数学初试的.答题技巧

  首先是确定做题顺序,可以采用填空、计算、选择、证明的顺序。因为尽管选择题的分数相对要少一些,但它们一般对基础知识要求较高,选项迷惑性大,有时需要花很多时间去分析也难以取舍。

  而且有些选择题的计算量也是很大的,如果在做题的开始就感觉不顺而花太多时间的话,会影响考试的心理状态。证明题考查的是严密的逻辑推理,难度也比较大。因此,建议这两类题型可以放在后面做,而先做相对简单的。

  一般来说,平时复习的时候要尽量从自己薄弱的方面“榨取”分数,而正式考试时,先通观整个试卷,迅速客观地评估自己的实力,明确哪些分数是必得的,哪些是可能得到的,哪些是根本得不到的,再采取不同的应对方式,才能镇定自若,进退有据,最终从整体上获胜。

  同学们可以先解答填空题,一般讲填空题是基本概念,基本运算题,得分比较容易,当然试题中计算题或者证明题以平时看书或者参加辅导班老师所讲的例题类似的也可以先做;其次做计算题;最后解单项选择题,因为有些单项选择题概念性非常强,计算技巧也比较高,求解单项选择题一般有以下几种方法:

  ***1***推演法:它适用于题干中给出的条件是解析式子。

  ***2***图示法:它适用于题干中给出的函数具有某种特性,例如奇偶性、周期性或者给出的事件是两个事件的情形,用图示法做就显得格外简单。

  ***3***举反例排除法:排除了三个,第四个就是正确的答案,这种方法适用于题干中给出的函数是抽象函数的情况。

  ***4***逆推法:所谓逆推法就是假定被选的四个答案中某一个正确,然后做逆推,如果得到的结果与题设条件或尽人皆知的正确结果矛盾,则否定这个备选答案。

  ***5***赋值法:将备选的一个答案用具体的数字代入,如果与假设条件或众所周知的事实发生矛盾则予以否定。

  做选择题的时候,考生可以巧妙地运用图示法和赋值法。这两种方法很有效。同学们平时用得很多,但很多人进考场一紧张就忘了,而用一些常规方法去硬算,结果既浪费了时间又容易出错。

  计算题的题目结果一般不会特别复杂,一旦出现了很复杂的结果,就需要重点检查一下。如果遇到自己不会做和没有把握的题目,千万不要留空白,可以多写一些相关内容来得一些“步骤分”。

  拿到试卷检查无误后先看一下有没有自己熟悉的题,先解决掉自己有把握的再说,省得最后没有时间了把自己会的忽略了。

  针对数学一,一般而言,考研数学第一道大题填空题基本上全是概念性的题目,计算量不大,考生只要复习过,没有遗漏知识点,基本全都可以很快做出来;

  第二道大题选择题,其中有三四道题是大家都会做的,还有几道偏难的选择题,一时拿不准可以先放一放,实在不会还可以猜一猜;

  而第三道、第四道大题,一般来说难度不大,可以先做。历年试题这两道主要是高等数学的基本问题,如极限、偏导数或定积分应用题。接下来的高等数学的题目可能有些难度,如果考生对线性代数和概率统计比较擅长,可以先各做一个大题,这样整个卷面分数就可以达到70分左右,分数线可以通过。

  考研数学错题归纳

  一、错题档案助你”推陈出新”

  其实大家在平时做题或看书时也会发现一些自己总出错的,但是类型比较新颖的题目,这时大家不妨用本子把题目和解题思路摘抄下来,并把此类题目整理到一起,经常翻一翻,这样就变成了一本非常有用的错题档案。建议大家在复习前期做往年的考研真题,然后再做模拟题,然后把做错的又觉得思路很好的题都抄在错题档案上。

  错题档案要一直保存到考试,临考前一个星期也可以以错题档案为主,但那时主要是看思路。同时这里要提醒大家一句,计算能力是不能忽略的,不论哪个时期那个阶段,大家都不能把计算能力忽略,一定要坚持动笔算,一旦停滞,那你的算术能力便会大大下降。

  二、不能自认”倒霉”

  有人认为考研数学基本题太简单,不愿意做,都去做更多更难的题目。但是,如果对理论知识领会不深,基本概念都没搞清楚,恐怕基本题也做不好,又怎么谈得上做更多更难的题目呢?

  缺乏基本功,盲目追求题目的深度、难度和做题数量,结果只能是深的不会做,浅的也难免错误百出。其实解题的过程也是加深对数学定理、公式和基本概念的理解和认识的过程。

  小编提醒考生,如果在这个过程中出现很多错误或没有解题思路,也就说明你对教材的理解和认识上有很多欠缺、片面甚至错误的地方,或是在运用知识的能力方面还很不够。这时就要抓住他,刨根问底,找出原因:是对定理理解错了,还是没有看清题意;是应用公式的能力不强,还是自己粗枝大叶,没有仔细分析等等。

  找到原因,有针对性地加以改正,就能吃一堑长一智,不必埋怨自己”倒霉”,只要有针对性地加以改正即可。

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